Упр.664 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и Е — на другой. Найдите: а) АС, если С.Е = 10 см, AD = 22 см, BD= 8 см; б) BD и DE, если АВ = 10см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 : 1 и DE = 12 см. Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

а) Так как $$BC \parallel DE,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны. Поэтому

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}.$$

Из условия $$AD=22\text{ см},\ BD=8\text{ см},$$ значит

$$AB=AD-BD=22-8=14\text{ см}.$$

Тогда

$$\frac{14}{22}=\frac{AC}{AC+10}.$$

Решим уравнение:

$$14(AC+10)=22AC$$

$$14AC+140=22AC$$

$$140=8AC$$

$$AC=17{,}5\text{ см}.$$

б) Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$ADE$$ получаем

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$$

Так как $$AB=10\text{ см},\ AC=8\text{ см},$$ то

$$AD=AB+BD,$$

а из отношения

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$$

имеем

$$\frac{10}{8}=\frac{BD}{4},$$

откуда

$$BD=5\text{ см}.$$

Тогда

$$AD=10+5=15\text{ см}.$$

Теперь найдём $$DE$$:

$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$

Так как $$BC=4\text{ см},$$ то

$$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3},$$

откуда

$$DE=6\text{ см}.$$

в) По условию $$AB:BD=2:1,$$ значит можно положить

$$AB=2x,\quad BD=x.$$

Тогда

$$AD=AB+BD=3x.$$

Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$ADE$$:

$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.$$

При $$DE=12\text{ см}$$ получаем

$$\frac{BC}{12}=\frac{2}{3},$$

откуда

$$BC=8\text{ см}.$$

Доказательство. Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB$$ как радиусы, значит треугольник $$AOB$$ равнобедренный, и

$$\angle OAB=\angle ABO.$$

Так как $$AM$$ — касательная, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OA \perp AM,$$

следовательно,

$$\angle OAM=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle MAB=90^\circ-\angle OAB.$$

С другой стороны, центральный угол, опирающийся на дугу $$AB$$, равен

$$\angle AOB=180^\circ-2\angle OAB.$$

Подставим $$\angle OAB=90^\circ-\angle MAB$$:

$$\angle AOB=180^\circ-2(90^\circ-\angle MAB)=2\angle MAB.$$

Но градусная мера дуги $$AB$$ равна величине центрального угла $$\angle AOB$$, значит

$$\overset{\frown}{AB}=2\angle MAB.$$

Следовательно,

$$\angle MAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB},$$

что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$AC=17{,}5\text{ см}$$; б) $$BD=5\text{ см},\ DE=6\text{ см}$$; в) $$BC=8\text{ см}$$; $$\angle MAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$$.