Упр.663 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 194). Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что угол MAB = уголACB.

Пусть через точку $$A$$ проведена прямая $$AC_1$$ так, что $$AC_1 \parallel BD$$, а прямая $$AC_1$$ пересекает $$CD$$ в точке $$C_1$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAB$$ и $$\triangle ACC_1$$.

Так как $$AB \parallel CD$$ и $$AC_1 \parallel BD$$, то

$$\angle OAB=\angle ACC_1,$$

$$\angle OBA=\angle AC_1C$$

как соответственные углы при параллельных прямых. Значит,

$$\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$$

по двум углам. Тогда

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{AC_1}.$$

Кроме того, четырёхугольник $$AC_1DB$$ — параллелограмм, так как $$AC_1 \parallel BD$$ и $$AB \parallel C_1D$$. Следовательно,

$$AC_1=BD.$$

Подставляя это равенство, получаем

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}.$$

Перемножая крест-накрест, имеем

$$OA \cdot BD=OB \cdot AC,$$

откуда

$$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$

Ход решения

Так как $$AC$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

$$\angle ABC=90^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ тогда

$$\angle ACB=90^\circ-\angle BAC.$$

Поскольку $$AM$$ — касательная к окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной, а значит, $$AM \perp AC$$. Следовательно,

$$\angle MAB=90^\circ-\angle BAC.$$

Итак,

$$\angle ACB=\angle MAB.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle MAB=\angle ACB.$$