Упр.663 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны угла $$O$$ пересечены параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$. Докажите, что отрезки $$OA$$ и $$AC$$ пропорциональны отрезкам $$OB$$ и $$BD$$ (рис. 194).
2. Отрезок $$AC$$ — диаметр окружности, $$AB$$ — хорда, $$MA$$ — касательная, угол $$MAB$$ острый. Докажите, что $$\angle MAB=\angle ACB$$.

Рассмотрим треугольники $$OAB$$ и $$ACC_1$$, где точка $$C_1$$ лежит на прямой $$AC$$ и $$AC_1 \parallel BD$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, а точки $$O, B, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle O = \angle CAC_1,$$

$$\angle OAB = \angle ACC_1$$

как соответственные углы при параллельных прямых. Значит,

$$\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$$

по двум углам. Тогда

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{AC_1}.$$

Кроме того, четырёхугольник $$AC_1DB$$ — параллелограмм, так как $$AC_1 \parallel BD$$ и $$AC_1 \parallel BD$$, а также $$C_1D \parallel AB$$. Следовательно,

$$AC_1=BD.$$

Подставляя это равенство, получаем

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}.$$

Отсюда

$$OA \cdot BD = OB \cdot AC,$$

то есть

$$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$

Ответ

$$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$