Упр.662 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ треугольника $$ABC$$, причём $$MN \parallel AC$$, $$NP \parallel AB$$. Найдите стороны четырёхугольника $$AMNP$$, если:
а) $$AB=10\text{ см}$$, $$AC=15\text{ см}$$, $$PN:MN=2:3$$;
б) $$AM=AP$$, $$AB=a$$, $$AC=b$$.
Хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$E$$. Найдите угол $$BEC$$, если $$AD=54^\circ$$, $$BC=70^\circ$$.

Подробный ответ

а) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB,$$ то четырёхугольник $$AMNP$$ — параллелограмм. Значит, $$AM=NP$$ и $$MN=AP.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN.$$ У них

$$\angle B$$ — общий, $$\angle BMN=\angle BAC$$ как соответственные при $$MN \parallel AC.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle MBN.$$

Пусть $$PN=2x,$$ тогда $$MN=3x.$$ По подобию соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}$$
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x}$$
$$30x=150-30x$$
$$60x=150$$
$$x=2{,}5$$

Тогда

$$PN=2x=5\text{ см}, \qquad MN=3x=7{,}5\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AM=NP=5\text{ см}, \qquad AP=MN=7{,}5\text{ см}.$$

б) Из условий $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB$$ снова получаем, что $$AMNP$$ — параллелограмм. Так как $$AM=AP,$$ то этот параллелограмм — ромб, значит все его стороны равны:

$$AM=NP=MN=AP.$$

Пусть $$AM=x.$$ Тогда $$MB=AB-AM=a-x,$$ а из подобия треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$ имеем

$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}$$
$$\frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}$$
$$ax=b(a-x)$$
$$ax=ab-bx$$
$$(a+b)x=ab$$
$$x=\frac{ab}{a+b}$$

Значит,

$$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$