Упр.661 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основания трапеции равны $$5\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Боковые стороны, равные $$3{,}6\ \text{см}$$ и $$3{,}9\ \text{см}$$, продолжены до пересечения в точке $$M$$. Найдите расстояния от точки $$M$$ до концов меньшего основания.
Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны $$140^\circ$$ и $$52^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть продолжения боковых сторон трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$, причём $$AB$$ и $$CD$$ лежат на прямых $$MA$$ и $$MD$$ соответственно. Тогда $$BC \parallel AD$$, значит, треугольники $$MBC$$ и $$MAD$$ подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{MB}{MA}=\frac{MC}{MD}=\frac{BC}{AD}=\frac{5}{8}.$$

Обозначим $$BM=x$$, $$MC=y$$. Тогда

$$MA=AB+BM=3{,}9+x,$$

$$MD=CD+CM=3{,}6+y.$$

По отношению подобных треугольников:

$$\frac{3{,}9+x}{x}=\frac{8}{5}, \qquad \frac{3{,}6+y}{y}=\frac{8}{5}.$$

Решим первое уравнение:

$$5(3{,}9+x)=8x$$

$$19{,}5+5x=8x$$

$$3x=19{,}5$$

$$x=6{,}5.$$