Упр.660 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.

Подробный ответ

1) Если два равнобедренных треугольника имеют по равному острому углу, то они подобны.

Действительно, в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Если один острый угол одного треугольника равен одному острому углу другого, то равны и вторые углы при основании, значит, треугольники имеют по две пары равных углов. Следовательно, они подобны по двум углам.

2) Если два равнобедренных треугольника имеют по равному тупому углу, то они также подобны.

В равнобедренном треугольнике тупым может быть только вершины̆ угол. Тогда при равенстве тупых углов равны и остальные углы каждого треугольника, значит, треугольники подобны по двум углам.

3) Если два равнобедренных треугольника имеют по прямому углу, то они подобны.

В равнобедренном треугольнике прямой угол может быть только вершины̆. Тогда два других угла равны и в каждом треугольнике составляют по $$45^\circ$$, значит, треугольники имеют по две пары равных углов и подобны.

4) Пусть через точку вне окружности проведены две секущие, образующие угол $$32^\circ$$. Большая дуга между сторонами этого угла равна $$100^\circ$$. Обозначим меньшую дугу через $$x$$.

Для угла, образованного двумя секущими вне окружности, верно:

$$\angle = \frac{1}{2}\left(\text{большая дуга} — \text{меньшая дуга}\right).$$

Тогда

$$32^\circ=\frac{1}{2}(100^\circ-x).$$

Умножим на $$2$$:

$$64^\circ=100^\circ-x,$$

откуда

$$x=100^\circ-64^\circ=36^\circ.$$