Упр.659 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4см, OD= 10 см, DC = 25 см; б) AO/OC и BO/OD если АВ = a, DC=b; в) АО, если АВ = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle DOC$$. У них

$$\angle AOB=\angle DOC$$ — вертикальные,

$$\angle ABO=\angle DCO$$, так как $$AB \parallel CD$$ и $$BO$$, $$CO$$ — секущие.

Следовательно, $$\triangle AOB \sim \triangle DOC$$. Тогда

$$\frac{AB}{DC}=\frac{BO}{OD}.$$

Подставим данные:

$$\frac{AB}{25}=\frac{4}{10}.$$

Отсюда

$$AB=25\cdot \frac{4}{10}=10\text{ см}.$$

б) Из подобия тех же треугольников получаем

$$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{b}.$$

в) Переведём длину $$AB$$ в сантиметры:

$$AB=9{,}6\text{ дм}=96\text{ см}.$$

Тогда из подобия

$$\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{OC}.$$

Подставим:

$$\frac{96}{24}=4,$$

значит

$$\frac{AO}{OC}=4.$$

Пусть $$AO=x$$, тогда $$OC=15-x$$. Получаем

$$\frac{x}{15-x}=4.$$

Отсюда

$$x=4(15-x),$$

$$x=60-4x,$$

$$5x=60,$$

$$x=12.$$

Следовательно, $$AO=12\text{ см}.$$

Ответ

а) $$AB=10\text{ см}$$; б) $$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$$; в) $$AO=12\text{ см}$$.

Доказательство

Пусть в окружности хорды $$AB$$ и $$CD$$ параллельны. Докажем, что градусные меры дуг, заключённых между ними, равны.

Рассмотрим хорду $$AD$$ как секущую к параллельным хордам $$AB$$ и $$CD$$. Тогда

$$\angle DAB=\angle ADC$$

как накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$.

Угол $$\angle DAB$$ — вписанный и опирается на дугу $$DB$$, а угол $$\angle ADC$$ — вписанный и опирается на дугу $$AC$$. Поэтому

$$\overset{\frown}{DB}=2\angle DAB,$$

$$\overset{\frown}{AC}=2\angle ADC.$$

Так как $$\angle DAB=\angle ADC$$, то

$$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}.$$

Следовательно, градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.