Упр.659 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите: а) $$AB$$, если $$OB=4\text{ см}$$, $$OD=10\text{ см}$$, $$DC=25\text{ см}$$; б) $$\frac{AO}{OC}$$ и $$\frac{BO}{OD}$$, если $$AB=a$$, $$DC=b$$; в) $$AO$$, если $$AB=9{,}6\text{ дм}$$, $$DC=24\text{ см}$$, $$AC=15\text{ см}$$.
2. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AB \parallel CD$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle DOC$$ подобны:

$$\angle AOB=\angle DOC$$ как вертикальные, а $$\angle ABO=\angle DCO$$ как накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$.

Из подобия получаем пропорции:

$$\frac{AB}{DC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AO}{OC}.$$

а)

$$\frac{AB}{25}=\frac{4}{10}$$

$$AB=25\cdot \frac{4}{10}=10\text{ см}.$$

б)

Если $$AB=a$$, $$DC=b$$, то

$$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{b}.$$

в)

Переведём всё в одинаковые единицы: $$AB=9{,}6\text{ дм}=96\text{ см}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{DC}=\frac{96}{24}=4,$$

значит,

$$\frac{AO}{OC}=4.$$

Пусть $$AO=x$$, тогда $$OC=\frac{x}{4}$$, а

$$AC=AO+OC=x+\frac{x}{4}=15.$$

Отсюда

$$\frac{5x}{4}=15,\qquad x=12.$$

Следовательно, $$AO=12\text{ см}.$$

Ответ: а) $$10\text{ см}$$; б) $$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$$; в) $$12\text{ см}$$.