Упр.658 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$E$$. Прямые $$AE$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$F$$. Найдите:
а) $$EF$$ и $$FC$$, если $$DE=8\text{ см}$$, $$EC=4\text{ см}$$, $$BC=7\text{ см}$$, $$AE=10\text{ см}$$;
б) $$DE$$ и $$EC$$, если $$AB=8\text{ см}$$, $$AD=5\text{ см}$$, $$CF=2\text{ см}$$. - Через точку $$A$$ к данной окружности проведены касательная $$AB$$ (точка $$B$$ — точка касания) и секущая $$AD$$, проходящая через центр $$O$$ (точка $$D$$ лежит на окружности, $$O$$ находится между $$A$$ и $$D$$). Найдите углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ADB$$, если $$BD=110^\circ20’$$.
Рассмотрим оба варианта.
а)
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$ и $$DC \parallel AB$$. Прямая $$AF$$ пересекает параллельные прямые $$AD$$ и $$BC$$, а прямая $$DE$$ лежит на $$DC$$, значит $$DE \parallel FC$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle EFC$$. У них:
- $$\angle DEA = \angle FEC$$ — вертикальные;
- $$\angle DAE = \angle EFC$$ — накрест лежащие при $$AD \parallel FC$$.
Следовательно, $$\triangle ADE \sim \triangle EFC$$, поэтому
$$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{FC}.$$
Из условия $$DE=8$$ см, $$EC=4$$ см, значит
$$\frac{DE}{EC}=\frac{8}{4}=2.$$
Тогда
$$\frac{AE}{EF}=2 \Rightarrow \frac{10}{EF}=2 \Rightarrow EF=5\text{ см},$$
$$\frac{AD}{FC}=2 \Rightarrow \frac{7}{FC}=2 \Rightarrow FC=3{,}5\text{ см}.$$
б)
Снова рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle EFC$$. Они подобны, поэтому
$$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{FC}.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$. Но $$CD=DE+EC$$, значит
$$DE+EC=8.$$
Из подобия
$$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{EC}=\frac{5}{2}=2{,}5.$$
Следовательно,
$$\frac{DE}{EC}=2{,}5,\qquad EC=8-DE.$$
Подставим:
$$\frac{DE}{8-DE}=2{,}5,$$
$$DE=2{,}5(8-DE),$$
$$DE=20-2{,}5DE,$$
$$3{,}5DE=20,$$
$$DE=\frac{20}{3{,}5}=\frac{40}{7}=5\frac{5}{7}\text{ см}.$$
Тогда
$$EC=8-5\frac{5}{7}=2\frac{2}{7}\text{ см}.$$
Ответ
а) $$EF=5\text{ см},\ FC=3{,}5\text{ см};$$ б) $$DE=5\frac{5}{7}\text{ см},\ EC=2\frac{2}{7}\text{ см}.$$
