Упр.652 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника A1B1C1 на 77 см2. Найдите площади треугольников. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что АС = 37°, BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15см.

Подробный ответ

1) Так как треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\left(\frac{6}{5}\right)^2=\frac{36}{25}.$$

Обозначим $$S_{A_1B_1C_1}=x$$, тогда $$S_{ABC}=\frac{36}{25}x$$.

По условию площадь первого треугольника больше на $$77\text{ см}^2$$:

$$\frac{36}{25}x-x=77.$$

$$\frac{11}{25}x=77,$$

$$x=77\cdot \frac{25}{11}=175.$$

Тогда

$$S_{ABC}=175+77=252.$$

2) На полуокружности $$AB$$ дуги $$AC$$ и $$BD$$ равны $$37^\circ$$ и $$23^\circ$$ соответственно, значит дуга $$CD$$ равна

$$\overset{\frown}{CD}=180^\circ-37^\circ-23^\circ=120^\circ.$$

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда центральный угол $$\angle COD=120^\circ$$, а перпендикуляр $$OE$$ к хорде $$CD$$ делит её пополам, то есть $$CE=ED$$.

В равнобедренном треугольнике $$COD$$ имеем

$$\angle EOD=\frac{1}{2}\angle COD=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OED$$:

$$ED=OD\cdot \sin \angle EOD=15\cdot \sin 60^\circ=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$CD=2ED=2\cdot 15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\text{ см}.$$