Упр.650 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
2. Радиус окружности с центром $$О$$ равен $$16$$. Найдите хорду $$АВ$$, если: а) $$\angle AOB = 60^\circ$$; б) $$\angle AOB = 90^\circ$$; в) $$\angle AOB = 180^\circ$$.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, а соответствующие высоты, проведённые к сходственным сторонам $$AB$$ и $$A_1B_1$$, равны соответственно $$h$$ и $$h_1$$.

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2.$$

С другой стороны, площади этих треугольников можно выразить через соответствующие стороны и высоты:

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot h,\qquad S_{A_1B_1C_1}=\frac12 A_1B_1\cdot h_1.$$

Подставим в отношение площадей:

$$\frac{\frac12 AB\cdot h}{\frac12 A_1B_1\cdot h_1}=k^2,$$

откуда

$$\frac{AB}{A_1B_1}\cdot \frac{h}{h_1}=k^2.$$

Но для подобных треугольников

$$\frac{AB}{A_1B_1}=k,$$

значит

$$k\cdot \frac{h}{h_1}=k^2,$$

и поэтому

$$\frac{h}{h_1}=k.$$

Следовательно,

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{h}{h_1},$$

что и требовалось доказать.