Упр.650 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) уголAOB = 60°; б) угол AOB = 90°; в) угол AOB= 180°.

Пусть в подобных треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ соответствующие стороны равны $$AB$$ и $$A_1B_1$$, а высоты, проведённые к ним, — $$h$$ и $$h_1$$.

Тогда по теореме об отношении площадей подобных треугольников

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2,$$

где $$k$$ — коэффициент подобия. С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot h,\qquad S_{A_1B_1C_1}=\frac12 A_1B_1\cdot h_1.$$

Подставим в отношение площадей:

$$\frac{\frac12 AB\cdot h}{\frac12 A_1B_1\cdot h_1}=k^2,$$

откуда

$$\frac{AB}{A_1B_1}\cdot \frac{h}{h_1}=k^2.$$

Но для подобных треугольников $$\frac{AB}{A_1B_1}=k$$, значит

$$k\cdot \frac{h}{h_1}=k^2,$$

следовательно,

$$\frac{h}{h_1}=k=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

Итак, отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Теперь найдём хорду $$AB$$ окружности радиуса $$r=16$$.

а) $$\angle AOB=60^\circ$$.

Так как $$OA=OB=r=16$$, треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Тогда

$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Значит, $$\triangle AOB$$ равносторонний, поэтому

$$AB=OA=16.$$

б) $$\angle AOB=90^\circ$$.

В треугольнике $$AOB$$ имеем $$OA=OB=16$$ и угол между ними равен $$90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{16^2+16^2}=\sqrt{2\cdot 16^2}=16\sqrt2.$$

в) $$\angle AOB=180^\circ$$.

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на концах диаметра, поэтому

$$AB=OA+OB=16+16=32.$$

Ответ

Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам; $$AB=16$$, $$16\sqrt2$$, $$32$$.