Упр.646 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольник $$MNK$$ вписан ромб $$MDEF$$ так, что вершины $$D$$, $$E$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$MN$$, $$NK$$ и $$МК$$. Найдите отрезки $$NE$$ и $$ЕК$$, если $$MN = 7\text{ см}$$, $$NK = 6\text{ см}$$, $$МК = 5\text{ см}$$.
В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ прямой. Докажите, что:
а) прямая $$BC$$ является касательной к окружности с центром $$A$$ радиуса $$AB$$;
б) прямая $$AB$$ является касательной к окружности с центром $$C$$ радиуса $$CB$$;
в) прямая $$AC$$ не является касательной к окружностям с центром $$B$$ и радиусами $$BA$$ и $$BC$$.

Подробный ответ

Так как $$MDEF$$ — ромб, то его диагональ $$ME$$ является биссектрисой угла $$\angle DMF$$. Поэтому

$$\angle FME=\angle EMD.$$

Точки $$D$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$MN$$ и $$MK$$, значит

$$\angle FME=\angle EMN,\qquad \angle EMD=\angle EMK.$$

Следовательно, прямая $$ME$$ делит угол $$\angle NMK$$ пополам. Тогда по теореме о биссектрисе в треугольнике $$MNK$$

$$\frac{NE}{EK}=\frac{MN}{MK}=\frac{7}{5}.$$

Пусть $$EK=x$$, тогда $$NE=6-x$$. Получаем

$$\frac{6-x}{x}=\frac{7}{5}.$$

Отсюда

$$5(6-x)=7x$$

$$30-5x=7x$$