Упр.645 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Биссектриса $$AD$$ треугольника $$ABC$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$CD$$ и $$BD$$, равные соответственно $$4{,}5\ \text{см}$$ и $$13{,}5\ \text{см}$$. Найдите $$AB$$ и $$AC$$, если периметр треугольника $$ABC$$ равен $$42\ \text{см}$$.
2. Из концов диаметра $$AB$$ данной окружности проведены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру $$AB$$. Докажите, что точка касания является серединой отрезка $$A_1B_1$$.

Так как $$AD$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{AB}{AC}=\frac{13{,}5}{4{,}5}=3,$$

значит, $$AB=3AC.$$

Найдём сторону $$BC$$:

$$BC=BD+DC=13{,}5+4{,}5=18\text{ см}.$$

По условию периметр треугольника равен $$42\text{ см}$$, поэтому

$$AB+AC=42-BC=42-18=24\text{ см}.$$

Тогда

$$3AC+AC=24,$$

$$4AC=24,$$

$$AC=6\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AB=3\cdot 6=18\text{ см}.$$

Ответ: $$AB=18\text{ см},\ AC=6\text{ см}.$$