Упр.644 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок $$AD$$ является биссектрисой треугольника $$ABC$$. Найдите $$BD$$ и $$DC$$, если $$AB=14\text{ см}$$, $$BC=20\text{ см}$$, $$AC=21\text{ см}$$.
2. Прямые $$MA$$ и $$MB$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Точка $$C$$ симметрична точке $$O$$ относительно точки $$B$$. Докажите, что $$\angle AMC=3\angle BMC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}.$$

Пусть $$BD=x$$, тогда $$DC=20-x$$, так как $$BD+DC=BC=20$$.

Получаем уравнение:

$$\frac{x}{20-x}=\frac{2}{3}.$$

Решим его:

$$3x=2(20-x)$$

$$3x=40-2x$$

$$5x=40$$

$$x=8.$$

Значит,

$$BD=8\text{ см}, \quad DC=20-8=12\text{ см}.$$

Ответ: $$BD=8\text{ см},\ DC=12\text{ см}.$$