Упр.640 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах? Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ и $$AC$$ — касательные, проведённые из точки $$A$$ к окружности с центром $$O$$, а точки касания — $$B$$ и $$C$$.

Так как касательная перпендикулярна радиусу, то $$OB \perp AB$$ и $$OC \perp AC$$. Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ прямоугольные.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Из условия $$AO=9\text{ см}$$, $$OB=4{,}5\text{ см}$$, то есть

$$OB=\frac{1}{2}AO.$$

В прямоугольном треугольнике, если катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, то этот угол равен $$30^\circ$$. Значит,

$$\angle OAB=30^\circ.$$

Аналогично в треугольнике $$AOC$$ получаем

$$\angle OAC=30^\circ.$$

Тогда угол между касательными равен

$$\angle BAC=\angle OAB+\angle OAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$