Упр.637 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BH$$. Докажите, что если:
   а) угол $$A$$ острый, то $$BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \times AH$$;
   б) угол $$A$$ тупой, то $$BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \times AH$$.
2. Угол между диаметром $$AB$$ и хордой $$AC$$ равен $$30^\circ$$. Через точку $$C$$ проведена касательная, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что треугольник $$ACD$$ равнобедренный.

Рассмотрим оба случая.

а)

Пусть $$BH$$ — высота треугольника $$ABC$$, причём $$H \in AC$$ и $$\angle A < 90^\circ$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ также по теореме Пифагора:

$$BC^2=HC^2+BH^2.$$

Вычтем из второго равенства первое:

$$BC^2-AB^2=HC^2-AH^2.$$

Так как $$H$$ лежит между $$A$$ и $$C$$, то

$$HC=AC-AH.$$

Тогда

$$BC^2-AB^2=(AC-AH)^2-AH^2$$

$$BC^2-AB^2=AC^2-2AC\cdot AH+AH^2-AH^2$$

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH.$$

б)

Пусть теперь $$\angle A > 90^\circ$$. Тогда основание высоты $$H$$ лежит на продолжении прямой $$AC$$ за точкой $$A$$, и

$$HC=AC+AH.$$

Как и прежде, в прямоугольных треугольниках $$ABH$$ и $$BHC$$ имеем:

$$AB^2=AH^2+BH^2,$$

$$BC^2=HC^2+BH^2.$$

Следовательно,

$$BC^2-AB^2=HC^2-AH^2.$$

Подставим $$HC=AC+AH$$:

$$BC^2-AB^2=(AC+AH)^2-AH^2$$

$$BC^2-AB^2=AC^2+2AC\cdot AH+AH^2-AH^2$$

$$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH.$$

Итак, в обоих случаях получены требуемые формулы.