Упр.631 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В ромбе высота, равная 4корень2/6см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба. Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: а) r=16см, d=12см; б) r=5см, d = 4,2 см; в) r=7,2дм, d = 3,7дм; г) r = 8см, d= 1,2 дм; д) r=5см, d= 50 мм?

Пусть $$AC$$ — большая диагональ ромба. По условию высота ромба равна $$\frac{4\sqrt{2}}{6}\text{ см}$$ и составляет $$\frac{2}{3}$$ большей диагонали, значит

$$\frac{2}{3}AC=\frac{4\sqrt{2}}{6}$$

Отсюда

$$AC=\frac{4\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{3}{2}=\sqrt{2}\text{ см}.$$

Площадь ромба можно выразить через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$

Так как высота ромба равна $$BH=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{ см},$$ то

$$S=BH\cdot AD.$$

Из соотношения диагоналей получаем

$$\frac{1}{2}BD=\frac{2}{3}AD,$$

то есть

$$BD=\frac{4}{3}AD.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOD$$, где $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда

$$AD^2=AO^2+OD^2.$$

Так как $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$OD=\frac{BD}{2}=\frac{2}{3}AD,$$ то

$$AD^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{3}AD\right)^2$$

$$AD^2=\frac{1}{2}+\frac{4}{9}AD^2.$$

Переносим слагаемые:

$$AD^2-\frac{4}{9}AD^2=\frac{1}{2}$$

$$\frac{5}{9}AD^2=\frac{1}{2}$$

$$AD^2=\frac{9}{10},\qquad AD=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S=BH\cdot AD=\frac{4\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{ см}^2.$$

Ответ

$$\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{ см}^2$$

Для взаимного расположения прямой $$p$$ и окружности сравним расстояние $$d$$ от центра окружности до прямой с радиусом $$r$$:

если $$d<r$$, то прямая и окружность пересекаются в двух точках;

если $$d=r$$, то прямая касается окружности;

если $$d>r$$, то прямая и окружность не имеют общих точек.

а) $$r=16\text{ см},\ d=12\text{ см}$$, значит $$d<r$$, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

б) $$r=5\text{ см},\ d=4{,}2\text{ см}$$, значит $$d<r$$, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

в) $$r=7{,}2\text{ дм},\ d=3{,}7\text{ дм}$$, значит $$d<r$$, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

г) $$r=8\text{ см},\ d=1{,}2\text{ дм}=12\text{ см}$$, значит $$d>r$$, прямая и окружность не пересекаются.

д) $$r=5\text{ см},\ d=50\text{ мм}=5\text{ см}$$, значит $$d=r$$, прямая и окружность касаются в одной точке.