Упр.630 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Расстояние от точки $$M$$, лежащей внутри треугольника $$ABC$$, до прямой $$AB$$ равно 6 см, а до прямой $$AC$$ равно 2 см. Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$, если $$AB=13$$ см, $$BC=14$$ см, $$AC=15$$ см.
Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Подробный ответ

Обозначим через $$h_a$$, $$h_b$$ и $$h_c$$ расстояния от точки $$M$$ до прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. По условию

$$h_a=6\text{ см},\quad h_c=2\text{ см},\quad AB=13\text{ см},\quad BC=14\text{ см},\quad AC=15\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить через стороны по формуле Герона:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} =84\text{ см}^2.$$

С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей треугольников $$ABM$$, $$BCM$$ и $$ACM$$:

$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BCM}+S_{ACM}.$$

Найдём известные площади:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=39\text{ см}^2,$$
$$S_{ACM}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h_c=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 2=15\text{ см}^2.$$

Тогда

$$S_{BCM}=S_{ABC}-S_{ABM}-S_{ACM}=84-39-15=30\text{ см}^2.$$

Но также

$$S_{BCM}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot h_b=7h_b.$$

Следовательно,

$$7h_b=30,\qquad h_b=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}\text{ см}.$$