Упр.627 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=17\ \text{см}$$, $$BC=5\ \text{см}$$ и боковой стороной $$AB=10\ \text{см}$$ через вершину $$B$$ проведена прямая, делящая диагональ $$AC$$ пополам и пересекающая основание $$AD$$ в точке $$M$$. Найдите площадь треугольника $$BDM$$.
- Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в два раза больше площади треугольника $$ABC$$.
Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямой $$BE$$ с диагональю $$AC$$, причём по условию $$AE=EC$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$, где $$H$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров из точек $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$BH=CF$$, а также $$AB=CD$$. Кроме того, $$AD=17$$ см, $$BC=5$$ см, значит
$$AH=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{17-5}{2}=6\text{ см}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$BH^2=AB^2-AH^2=10^2-6^2=100-36=64,$$
откуда $$BH=8\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AEM$$ и $$BEC$$. У них
$$\angle BEC=\angle AEM$$ — вертикальные углы,
$$\angle BCA=\angle CAE$$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC \parallel AD$$,
а также $$AE=EC$$ по условию.
Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle BEC$$, значит $$AM=BC=5\text{ см}.$$
Тогда
$$MD=AD-AM=17-5=12\text{ см}.$$
Площадь треугольника $$BDM$$ равна
$$S_{BDM}=\frac{1}{2}\cdot MD \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$
Ответ: $$48\text{ см}^2$$.
