Упр.627 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник А1В1С1, подобный треугольнику ABC, площадь которого в два раза больше площади треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим через $E$ точку пересечения прямой $BE$ с диагональю $AC$. По условию $AE=EC$, значит $E$ — середина диагонали $AC$.

Рассмотрим треугольники $AEM$ и $BEC$.

$$\angle BEC=\angle AEM$$

как вертикальные, а

$$\angle BCA=\angle CAE$$

как накрест лежащие при параллельных прямых $BC \parallel AD$.

Кроме того,

$$AE=EC$$

$$BC=AM=5\text{ см}.$$

Следовательно,

$$\triangle AEM \cong \triangle BEC$$

по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$AM=BC=5\text{ см}.$$

Тогда

$$MD=AD-AM=17-5=12\text{ см}.$$

Теперь найдём высоту трапеции. Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BH$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то

$$AH=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{17-5}{2}=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем

$$BH^2=AB^2-AH^2=10^2-6^2=100-36=64,$$

значит

$$BH=8\text{ см}.$$

Площадь треугольника $BDM$ равна

$$S_{BDM}=\frac12\cdot MD\cdot BH=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

Для построения треугольника $A_1B_1C_1$, подобного треугольнику $ABC$ и имеющего площадь в 2 раза больше, нужно взять коэффициент подобия $k$, для которого

$$k^2=2,\qquad k=\sqrt2.$$

Значит, надо построить треугольник, у которого

$$A_1B_1=\sqrt2\,AB,\qquad B_1C_1=\sqrt2\,BC,\qquad A_1C_1=\sqrt2\,AC.$$

Это можно сделать, например, построив на сторонах $AB$ и $AC$ квадраты: их диагонали будут равны $\sqrt2\,AB$ и $\sqrt2\,AC$. Затем на лучах, соответствующих сторонам треугольника $ABC$, откладывают отрезки $A_1B_1$ и $A_1C_1$ указанных длин и соединяют точки $B_1$ и $C_1$.