Упр.626 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ взаимно перпендикулярны, то $$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$$.
2. Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, если $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы треугольников.

Пусть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Так как $$AC \perp BD$$, то треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ — прямоугольные.

По теореме Пифагора получаем:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$
$$BC^2=BO^2+CO^2,$$
$$CD^2=CO^2+DO^2,$$
$$AD^2=AO^2+DO^2.$$

Сложим первые и третьи равенства:

$$AB^2+CD^2=(AO^2+BO^2)+(CO^2+DO^2)=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2.$$

Сложим второе и четвёртое равенства:

$$BC^2+AD^2=(BO^2+CO^2)+(AO^2+DO^2)=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2.$$

Следовательно,

$$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2.$$

Ответ

$$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2.$$