Упр.625 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна $$2a$$. Найдите площадь трапеции.
Основание $$AD$$ равнобедренной трапеции $$ABCD$$ в 5 раз больше основания $$BC$$. Высота $$BH$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$M$$, площадь треугольника $$AMH$$ равна $$4\ \text{см}^2$$. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.

Подробный ответ

Пусть $$AD$$ и $$BC$$ — основания равнобедренной трапеции $$ABCD$$, $$BH$$ — высота, $$BH \perp AD$$. Тогда

$$S_{ABCD}=\frac12(AD+BC)\cdot BH.$$

По условию $$AD=5BC$$, значит

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{5BC-BC}{2}=2BC.$$

Проведём через $$C$$ перпендикуляр $$CK \perp AD$$. Тогда $$HK=BC$$, так как в равнобедренной трапеции проекции равных боковых сторон на основание равны.

Рассмотрим треугольники $$AMH$$ и $$CBM$$. У них

$$\angle AMH=\angle CMB$$ — вертикальные,

$$\angle A=\angle C$$ — накрест лежащие при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$.

Следовательно, $$\triangle AMH \sim \triangle CBM$$, откуда

$$\frac{MH}{MB}=\frac{AH}{BC}=2.$$

Значит, $$MH=2MB$$, а потому

$$BH=MH+MB=\frac32\,MH.$$

По условию

$$S_{AMH}=\frac12\cdot AH\cdot MH=4.$$

Так как $$AH=2BC$$, получаем

$$\frac12\cdot 2BC \cdot MH=4,$$

то есть