Упр.623 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС угол А = угол В = 90°, угол ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.

а) Обозначим меньшее основание трапеции через $$BC=18\text{ см}$$, высоту через $$BH=9\text{ см}$$, а острый угол при основании — $$\angle A=45^\circ$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$\triangle ABH$$ — прямоугольный, и

$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, $$\triangle ABH$$ равнобедренный, поэтому

$$AH=BH=9\text{ см}.$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$. Следовательно, треугольники $$\triangle ABH$$ и $$\triangle CFD$$ равны, откуда

$$FD=AH=9\text{ см}.$$

Тогда большее основание

$$AD=AH+BC+FD=9+18+9=36\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{36+18}{2}\cdot 9=243\text{ см}^2.$$

б) Пусть основания равнобедренной трапеции равны $$16\text{ см}$$ и $$30\text{ см}$$, а диагонали перпендикулярны.

Расположим трапецию так, чтобы её ось симметрии проходила через середины оснований. Тогда половина разности оснований равна

$$\frac{30-16}{2}=7\text{ см}.$$

Обозначим высоту трапеции через $$h$$. Диагонали перпендикулярны, значит в равнобедренной трапеции выполняется соотношение

$$h^2=16\cdot 7.$$

Отсюда

$$h=\sqrt{112}=4\sqrt7\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{16+30}{2}\cdot 4\sqrt7=23\cdot 4\sqrt7=92\sqrt7\text{ см}^2.$$

В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, где $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, $$\angle ACD=90^\circ$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$AD=16\text{ см}$$, найдём углы $$C$$ и $$D$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$. У них

$$\angle B=\angle ACD=90^\circ,$$

а также

$$\angle BCA=\angle CAD$$

как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC\parallel AD$$.

Следовательно, $$\triangle ABC\sim\triangle ACD$$. Тогда

$$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{BC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{16}{AC}=\frac{AC}{4},$$

откуда

$$AC^2=64,\quad AC=8\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACD$$:

$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}$$

удобнее найти угол $$D$$ через отношение катетов. Так как

$$\frac{BC}{AD}=\frac{4}{16}=\frac14,$$

то в прямоугольной трапеции получается

$$\tan \angle D=\frac{BC}{AD-BC}=\frac{4}{12}=\frac13,$$

и, следовательно,

$$\angle D=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Ответ

а) $$243\text{ см}^2$$; б) $$92\sqrt7\text{ см}^2$$; в) $$\angle C=150^\circ,\ \angle D=30^\circ.$$