Упр.623 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно $$18\ \text{см}$$, высота — $$9\ \text{см}$$ и острый угол равен $$45^\circ$$; б) её основания равны $$16\ \text{см}$$ и $$30\ \text{см}$$, а диагонали взаимно перпендикулярны.
В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ угол $$A = B = 90^\circ$$, угол $$ACD = 90^\circ$$, $$BC = 4\ \text{см}$$, $$AD = 16\ \text{см}$$. Найдите углы $$C$$ и $$D$$ трапеции.

Подробный ответ

а) Проведём из вершин $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BH$$ и $$CF$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$BH=CF=9$$, а в прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол $$\angle AHB=90^\circ$$, поэтому

$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABH$$ равнобедренный, значит $$AH=BH=9$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$. Тогда равны прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$, откуда

$$FD=AH=9.$$

Теперь найдём большее основание:

$$AD=AH+HF+FD=9+18+9=36.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{36+18}{2}\cdot 9=243\text{ см}^2.$$

Ответ: $$243\text{ см}^2$$.

б) Пусть диагонали равнобедренной трапеции пересекаются в точке $$O$$. Тогда из равенства боковых сторон и углов при основании получаем, что треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны, значит $$BO=OC$$. Аналогично, из равенства соответствующих частей следует, что точка $$O$$ делит диагонали симметрично.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOC$$. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то

$$BC^2=BO^2+OC^2.$$

Поскольку $$BO=OC$$, получаем

$$16^2=2BO^2,$$

$$BO^2=128,$$

$$BO=8\sqrt2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной половине разности оснований. Для равнобедренной трапеции

$$\frac{AD-BC}{2}=\frac{30-16}{2}=7.$$

Высота трапеции равна

$$h=\sqrt{BO^2-7^2}=\sqrt{128-49}=\sqrt{79}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{30+16}{2}\cdot \sqrt{79}=23\sqrt{79}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$23\sqrt{79}\text{ см}^2$$.

В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, где $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, дано также $$\angle ACD=90^\circ$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$AD=16\text{ см}$$. Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ прямоугольные, а угол при $$C$$ в треугольнике $$ABC$$ равен углу при $$A$$ в треугольнике $$ACD$$, значит эти треугольники подобны.

Из подобия:

$$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{BC},$$

$$AC^2=AD\cdot BC=16\cdot 4=64,$$

$$AC=8\text{ см}.$$

Тогда

$$CH=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt3,$$

$$HD=AD-AH=16-4=12.$$

В прямоугольном треугольнике $$CHD$$:

$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(4\sqrt3)^2+12^2}=\sqrt{48+144}=8\sqrt3.$$

Так как в прямоугольном треугольнике $$CHD$$

$$\sin \angle D=\frac{CH}{CD}=\frac{4\sqrt3}{8\sqrt3}=\frac12,$$

то