Упр.622 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\), в котором $$AB=5\text{ см},\quad BC=13\text{ см},\quad CD=9\text{ см},\quad DA=15\text{ см},\quad AC=12\text{ см}.$$
2. На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$AK=\frac{1}{4}KD$$. Диагональ $$AC$$ и отрезок $$BK$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$, если площадь треугольника $$APK$$ равна $$1\text{ см}^2$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$.

Проверим, что они прямоугольные:

$$AC^2+AB^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2=BC^2,$$
значит, $$\angle BAC=90^\circ$$.

$$AC^2+CD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=AD^2,$$
значит, $$\angle ACD=90^\circ$$.

Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Найдём каждую из них:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot 5\cdot 12=30\ \text{см}^2,$$

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AC\cdot CD=\frac12\cdot 12\cdot 9=54\ \text{см}^2.$$

$$S_{ABCD}=30+54=84\ \text{см}^2.$$

Ответ: $$84\ \text{см}^2$$.