Упр.621 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC ВС= 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC= 15 см. Найдите площадь треугольника ABC. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, угол ACB = a. Найдите площадь трапеции.

1) Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH \perp AC$$.

Так как $$M$$ — середина отрезка $$BC$$ и $$MN \perp AC$$, то прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему, является серединным перпендикуляром. Следовательно, точка $$N$$ равноудалена от $$B$$ и $$C$$, то есть

$$NB=NC=15\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=AN+NC=25+15=40\text{ см}.$$

Кроме того, так как $$H$$ и $$N$$ лежат на прямой $$AC$$, а $$BH \perp AC$$ и $$MN \perp AC$$, то отрезки $$BH$$ и $$MN$$ параллельны. Из рисунка и условия получаем, что $$HN=NC=15\text{ см}$$, значит

$$HC=HN+NC=15+15=30\text{ см}.$$

2) В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора:

$$BH^2=BC^2-HC^2=34^2-30^2=1156-900=256,$$

откуда

$$BH=16\text{ см}.$$

3) Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BH=\frac12 \cdot 40 \cdot 16=320\text{ см}^2.$$

Ответ

$$320\text{ см}^2$$

Ход решения

1) Площадь трапеции равна

$$S_{ABCD}=\frac12(AD+BC)\cdot CC_1,$$

где $$CC_1$$ — высота трапеции.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. По условию $$AC=a$$ и $$\angle ACB=\alpha$$, значит

$$CC_1=AC\cdot \sin\alpha=a\sin\alpha.$$

3) Так как $$AD+BC=b$$, получаем

$$S_{ABCD}=\frac12 \cdot b \cdot a\sin\alpha=\frac12 ab\sin\alpha.$$

Ответ

$$S_{ABCD}=\frac12 ab\sin\alpha$$