Упр.619 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Площадь ромба равна $$540\ \text{см}^2$$, а одна из его диагоналей равна $$4{,}5\ \text{дм}$$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
- Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$.
Пусть $$D$$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$ с прямой $$BC$$. Обозначим через $$M$$ и $$K$$ основания перпендикуляров из точек $$D$$ и $$A$$ на прямую $$AB$$ и $$AC$$ соответственно.
Рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$ADC$$. Их площади можно выразить через одну и ту же высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$:
$$\frac{S_{ADB}}{S_{ADC}}=\frac{BD\cdot AH}{DC\cdot AH}=\frac{BD}{DC}.$$
С другой стороны, площади этих треугольников можно выразить через стороны $$AB$$ и $$AC$$:
$$S_{ADB}=\frac12 \cdot AB \cdot DM,\qquad S_{ADC}=\frac12 \cdot AC \cdot DK.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DKA$$ и $$DAM$$. У них:
- $$DA$$ — общая сторона;
- $$\angle DAK=\angle DAM$$, так как $$AD$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$.
Следовательно, $$\triangle DKA \cong \triangle DAM$$ по гипотенузе и острому углу, значит
$$DK=DM.$$
Тогда
$$\frac{S_{ADB}}{S_{ADC}}=\frac{\frac12 \cdot AB \cdot DM}{\frac12 \cdot AC \cdot DK} =\frac{AB}{AC}.$$
Сравнивая два выражения для отношения площадей, получаем
$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$
Отсюда
$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$
Ответ: $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$.
