Упр.619 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD/AB=DC/AC.

Подробный ответ

1) Найдём вторую диагональ ромба. Площадь ромба выражается формулой

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2.$$

Здесь $$S=540\text{ см}^2,$$ $$d_1=4{,}5\text{ дм}=45\text{ см}.$$ Тогда

$$540=\frac{1}{2}\cdot 45\cdot AC,$$

откуда

$$AC=\frac{540\cdot 2}{45}=24\text{ см}.$$

2) Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=12\text{ см},$$

$$BO=OD=\frac{BD}{2}=\frac{45}{2}=22{,}5\text{ см}.$$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOC$$. По теореме Пифагора:

$$DC^2=DO^2+OC^2,$$

$$DC^2=22{,}5^2+12^2=506{,}25+144=650{,}25,$$

$$DC=25{,}5\text{ см}.$$

4) Площадь треугольника $$DOC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{DOC}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 22{,}5=135\text{ см}^2,$$

и также

$$S_{DOC}=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot DC.$$

Тогда

$$135=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot 25{,}5,$$

$$OH=\frac{270}{25{,}5}=\frac{180}{17}=10\frac{10}{17}\text{ см}.$$

Ответ

$$10\frac{10}{17}\text{ см}.$$

Доказательство

Пусть $$D$$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$ с прямой $$BC$$. Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на прямую $$AD$$: пусть их основания — $$M$$ и $$K$$ соответственно.

Тогда площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$ можно записать так:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot AM,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot DC\cdot AK.$$

Так как $$AD$$ — биссектриса внешнего угла, то $$\angle DAK=\angle DAM,$$ а треугольники $$DAK$$ и $$DAM$$ прямоугольные, имеют общую сторону $$DA$$ и равные острые углы. Следовательно, $$\triangle DAK \cong \triangle DAM,$$ откуда

$$AK=AM.$$

Значит,

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD\cdot AM}{DC\cdot AK}=\frac{BD}{DC}.$$

С другой стороны, треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общую высоту из $$A$$ к прямой $$BC$$, поэтому

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

Приравнивая полученные отношения, получаем

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC},$$

откуда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке