Упр.618 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали ромба равны $$18\ \text{м}$$ и $$24\ \text{м}$$. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.
Точки $$M$$ и $$N$$ являются соответственно серединами сторон $$CD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AM$$ и $$AN$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — ромб, то все его стороны равны, а диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Тогда

$$AO=OC=\frac{24}{2}=12\text{ м},$$
$$BO=OD=\frac{18}{2}=9\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$, так как диагонали ромба перпендикулярны:

$$AB^2=AO^2+BO^2=12^2+9^2=144+81=225,$$
$$AB=15\text{ м}.$$

Тогда периметр ромба равен

$$P_{ABCD}=4AB=4\cdot 15=60\text{ м}.$$

Найдём расстояние между параллельными сторонами ромба, то есть высоту $$h$$. Площадь ромба можно вычислить по диагоналям:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18=216\text{ м}^2.$$

С другой стороны,

$$S=AB\cdot h=15h.$$