Упр.617 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Подробный ответ

Обозначим длину отрезка $$MN$$ через $$x$$. Пусть высота трапеции равна $$h$$.

Тогда площади двух трапеций равны:

$$S_{AMND}=\frac{1}{2}(b+x)h,$$
$$S_{MBCN}=\frac{1}{2}(a+x)h.$$

По условию эти трапеции равновелики, значит

$$\frac{1}{2}(b+x)h=\frac{1}{2}(a+x)h.$$

Отсюда

$$b+x=a+x,$$

что невозможно, если понимать условие буквально. Следовательно, нужно использовать равенство площадей частей трапеции, а не только их оснований. Запишем:

$$S_{ABCD}=S_{AMND}+S_{MBCN}.$$

То есть

$$\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}(b+x)(h_1)+\frac{1}{2}(a+x)(h_2),$$

где $$h_1$$ и $$h_2$$ — высоты соответствующих трапеций. Так как отрезок $$MN$$ параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие части, получаем стандартную формулу для длины среднего параллельного сечения:

$$x^2=\frac{a^2+b^2}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Теперь докажем, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть $$M, N, P, Q$$ — середины сторон ромба $$ABCD$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, значит

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{1}{2}AC.$$

В треугольнике $$ADC$$ отрезок $$PQ$$ — средняя линия, поэтому

$$PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac{1}{2}AC.$$

Значит, $$MN \parallel PQ$$ и $$MN=PQ$$.

Аналогично, в треугольниках $$ABD$$ и $$BCD$$ получаем

$$MQ \parallel BD,\qquad NP \parallel BD,$$

и потому $$MQ \parallel NP$$, $$MQ=NP$$.