Упр.617 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
2. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Обозначим длину искомого отрезка через $$x.$$ Пусть высота трапеции равна $$h.$$ Тогда площади двух получившихся трапеций равны:

$$S_1=\frac{1}{2}(a+x)h,$$
$$S_2=\frac{1}{2}(b+x)h.$$

По условию они равновелики, значит

$$\frac{1}{2}(a+x)h=\frac{1}{2}(b+x)h.$$

Но это возможно только при равенстве оснований соответствующих трапеций, поэтому рассмотрим полную площадь исходной трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(a+b)h.$$

С другой стороны, сумма площадей двух равных трапеций равна этой же площади:

$$\frac{1}{2}(a+x)h+\frac{1}{2}(b+x)h=\frac{1}{2}(a+b)h.$$

Умножим на $$2$$ и сократим на $$h\neq 0$$:

$$a+x+b+x=a+b,$$
$$2x=0.$$

Следовательно,

$$x=0.$$

Такой результат невозможен для отрезка внутри трапеции, значит в условии имеется в виду равенство площадей частей, а не их оснований. Тогда для отрезка, параллельного основаниям, верна формула средней линии по площадям:

$$x=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$