Упр.616 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В трапеции \(ABCD\) с боковыми сторонами \(AB\) и \(CD\) диагонали пересекаются в точке \(O\).
а) Сравните площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\).
б) Сравните площади треугольников \(ABO\) и \(CDO\).
в) Докажите, что выполняется равенство $$OA \times OB = OC \times OD$$. - Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.
Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.
Ход решения
а) Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общее основание $$AD$$. Их вершины $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$BC$$, параллельной основанию $$AD$$, значит высоты этих треугольников, опущенные на $$AD$$, равны. Следовательно, равны и площади:
$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$
б) Треугольник $$AOD$$ является общей частью треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$, поэтому
$$S_{ABO}=S_{ABD}-S_{AOD},$$
$$S_{CDO}=S_{ACD}-S_{AOD}.$$
Так как $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то
$$S_{ABO}=S_{CDO}.$$
в) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них
$$\angle BOA=\angle COD$$
как вертикальные углы.
Тогда по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\,OA\cdot OB\cdot \sin \angle BOA,$$
$$S_{COD}=\frac{1}{2}\,OC\cdot OD\cdot \sin \angle COD.$$
Поскольку $$\angle BOA=\angle COD$$ и по пункту б) $$S_{AOB}=S_{COD}$$, получаем
$$OA\cdot OB=OC\cdot OD.$$
Ответ
а) $$S_{ABD}=S_{ACD}$$; б) $$S_{ABO}=S_{CDO}$$; в) $$OA\cdot OB=OC\cdot OD$$.
