Упр.615 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку $$D$$, лежащую на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$E$$ и $$F$$. Докажите, что треугольники $$CDE$$ и $$BDF$$ равновеликие.
- Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$.
Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AD=a$$, $$BC=b$$, а отрезок $$EF$$ проходит через точку пересечения диагоналей $$O$$ и параллелен основаниям.
Так как $$EF \parallel AD \parallel BC$$, то треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ подобны, поэтому
$$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{a}{b}.$$
Обозначим $$EO=x$$, $$OF=y$$. Тогда $$EF=x+y$$.
Из подобия треугольников $$AEO$$ и $$ABD$$ получаем
$$\frac{EO}{BD}=\frac{AO}{AB},$$
а из подобия треугольников $$COF$$ и $$CBD$$ —
$$\frac{OF}{BD}=\frac{OC}{CD}.$$
Удобнее выразить $$EO$$ и $$OF$$ через $$OD$$. Из подобия $$AOD$$ и $$BOC$$ имеем
$$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{a}{b},$$
значит,
$$AO=\frac{a}{a+b}\,AC,\qquad OC=\frac{b}{a+b}\,AC.$$
Точка $$O$$ делит диагональ $$AC$$ в отношении оснований, поэтому длина отрезка, параллельного основаниям и проходящего через $$O$$, равна
$$EF=\frac{2ab}{a+b}.$$
Ответ: $$\frac{2ab}{a+b}$$.
