Упр.614 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
- Диагонали прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$ взаимно перпендикулярны. Основание $$AB$$ равно $$6\ \text{см}$$, а боковая сторона $$AD$$ равна $$4\ \text{см}$$. Найдите $$DC$$, $$DB$$ и $$CB$$.
Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$, у которой $$\angle A=90^\circ$$, $$AB=6$$ см, $$AD=4$$ см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$. Тогда $$BD\perp AC$$.
1) Найдём диагональ $$BD$$ в прямоугольном треугольнике $$ADB$$:
$$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\text{ см}.$$
2) Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$BAD$$. У них
$$\angle DAB=\angle ADC=90^\circ,$$
а также $$\angle ACD=\angle ABD$$, так как $$AC\perp BD$$ и $$AD\perp AB$$.
Следовательно, $$\triangle ADC\sim \triangle BAD$$.
Из подобия получаем:
$$\frac{DC}{AD}=\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BA}.$$
Тогда
$$\frac{DC}{4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$
откуда
$$DC=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\text{ см}.$$
3) Так как $$DC\parallel AB$$, то проекция точки $$C$$ на основание $$AB$$ делит его на отрезки $$AH$$ и $$HB$$, причём
$$AH=DC=2\frac{2}{3}\text{ см}.$$
Тогда
$$HB=AB-AH=6-2\frac{2}{3}=3\frac{1}{3}\text{ см}.$$
4) В прямоугольном треугольнике $$CHB$$:
$$CB=\sqrt{CH^2+HB^2}=\sqrt{4^2+\left(3\frac{1}{3}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{100}{9}} =\sqrt{\frac{244}{9}} =\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$
Ответ: $$DC=2\frac{2}{3}\text{ см},\quad BD=2\sqrt{13}\text{ см},\quad CB=\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$
