Упр.613 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если: а) AB/A1B1=AC/A1C1=BM/B1M1, где ВМ и В1М1— медианы треугольников; б) угол A = уголA1, AC/A1C1=BH/B1H1, где BH и B1H1 — высоты треугольников ABC и A1B1C1.

а) Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC$$, а точка $$M$$ лежит на основании $$AC$$. Опустим из точки $$M$$ перпендикуляры $$MK$$ и $$MN$$ к сторонам $$AB$$ и $$BC$$, а из точки $$M$$ — перпендикуляр $$MF$$ к основанию $$AC$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{MBC}$$

и

$$S_{ABC}=S_{ABF}+S_{FBC}.$$

Тогда

$$S_{ABM}+S_{MBC}=S_{ABF}+S_{FBC}.$$

Запишем площади через основания и высоты:

$$\frac12 AB\cdot MK+\frac12 BC\cdot MN=\frac12 AB\cdot FQ+\frac12 BC\cdot EN,$$

где $$MK$$ и $$MN$$ — расстояния от точки $$M$$ до сторон $$AB$$ и $$BC$$, а $$FQ$$ и $$EN$$ — соответствующие расстояния до этих же сторон в другом разбиении.

Так как $$AB=BC$$, получаем

$$\frac12 AB(MK+MN)=\frac12 AB(FQ+EN),$$

откуда

$$MK+MN=FQ+EN.$$

Значит, сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

б) Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1.$$

По условию

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}.$$

Следовательно,

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1},$$

то есть

$$\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$$

по трём сторонам. Отсюда

$$\angle A=\angle A_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Следовательно,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

по двум сторонам и углу между ними.

в) Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$. Так как $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, то

$$\angle BHA=\angle B_1H_1A_1=90^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle A_1$$, значит,

$$\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$$

по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BH}{B_1H_1}=\frac{AH}{A_1H_1}.$$

Из условия также дано

$$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1},$$

следовательно,

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Тогда

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

а) $$MK+MN$$ не зависит от положения точки $$M$$ на основании треугольника; б) $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$; в) $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$.