Упр.612 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника? Два шеста АВ и CD разной длины а и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что: а) m/d=x/b и n/d=x/a; б) x/a+x/b=1. Найдите x и докажите, что x не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AOK$$.

У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle OKA=\angle DCA=90^\circ$$, значит, $$\triangle ADC \sim \triangle AOK$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{DC}{OK}=\frac{AC}{AK}.$$

Так как $$DC=b$$, $$OK=x$$, $$AC=d$$, $$AK=m$$, то

$$\frac{b}{x}=\frac{d}{m}, \qquad \frac{m}{d}=\frac{x}{b}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KOC$$.

У них $$\angle C$$ — общий, а $$\angle BAK=\angle OKC=90^\circ$$, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle KOC$$ по двум углам. Следовательно,

$$\frac{AB}{OK}=\frac{AC}{KC}.$$

Так как $$AB=a$$, $$OK=x$$, $$AC=d$$, $$KC=n$$, то

$$\frac{a}{x}=\frac{d}{n}, \qquad \frac{n}{d}=\frac{x}{a}.$$

б) Складывая равенства $$\frac{x}{a}=\frac{n}{d}$$ и $$\frac{x}{b}=\frac{m}{d}$$, получаем