Упр.611 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?
2. Докажите, что медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $$BC$$, концы которого лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Обозначим точки пересечения двух искомых прямых с верхней и правой сторонами квадрата через $$M$$ и $$N$$ соответственно.

Тогда площади треугольников $$ABM$$ и $$ADN$$ равны:

$$S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot BM=\frac12\cdot a\cdot BM,$$

$$S_{ADN}=\frac12\cdot AD\cdot DN=\frac12\cdot a\cdot DN.$$

Чтобы все три фигуры имели равные площади, нужно, чтобы каждая из них составляла треть площади квадрата. Значит, треугольники $$ABM$$ и $$ADN$$ должны занимать по одной трети площади квадрата, а оставшаяся часть $$AMCN$$ — тоже одну треть.

Из равенства площадей треугольников получаем:

$$\frac12 a\cdot BM=\frac13 a^2,$$

откуда
$$BM=\frac23\,BC.$$

Аналогично:

$$\frac12 a\cdot DN=\frac13 a^2,$$

откуда
$$DN=\frac23\,CD.$$

Следовательно, через вершину $$A$$ нужно провести две прямые так, чтобы одна пересекала сторону $$BC$$ в точке $$M$$, для которой $$BM=\frac23\,BC$$, а другая пересекала сторону $$CD$$ в точке $$N$$, для которой $$DN=\frac23\,CD$$.

Тогда площади трёх получившихся фигур равны.

Ответ: провести через вершину $$A$$ прямые $$AM$$ и $$AN$$, где $$BM=\frac23\,BC$$ и $$DN=\frac23\,CD$$.