Упр.610 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, делит сторону АС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если АВ=10см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см.

Обозначим стороны треугольника, равные $$a$$ и $$b$$, и пусть угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда площадь треугольника равна

$$S=\frac12 ab\sin\alpha.$$

Так как $$\sin\alpha \le 1$$, то

$$S \le \frac12 ab.$$

Равенство достигается при $$\sin\alpha=1$$, то есть при $$\alpha=90^\circ$$. Значит, наибольшую площадь имеет треугольник, у которого данные стороны перпендикулярны.

Теперь решим вторую часть.

Пусть прямая $$DE \parallel AB$$ пересекает $$AC$$ в точке $$D$$ и $$BC$$ в точке $$E$$. Тогда треугольники $$\triangle CDE$$ и $$\triangle CBA$$ подобны.

По условию $$AD:DC=2:7$$, значит

$$AC=21{,}6,\qquad AD=x,\qquad DC=21{,}6-x.$$

Из отношения получаем:

$$\frac{x}{21{,}6-x}=\frac{2}{7}.$$

Тогда

$$7x=2(21{,}6-x),$$

$$7x=43{,}2-2x,$$

$$9x=43{,}2,$$

$$x=4{,}8.$$

Следовательно,

$$CD=21{,}6-4{,}8=16{,}8\text{ см}.$$

Аналогично для стороны $$BC$$:

$$BE=y,\qquad CE=18-y,$$

и

$$\frac{y}{18-y}=\frac{2}{7}.$$

Отсюда

$$7y=2(18-y),$$

$$7y=36-2y,$$

$$9y=36,$$

$$y=4.$$

Значит,

$$CE=18-4=14\text{ см}.$$

Так как $$\triangle CDE \sim \triangle CBA$$, то

$$\frac{ED}{BA}=\frac{CD}{CA}.$$

Подставим найденные значения:

$$\frac{ED}{10}=\frac{16{,}8}{21{,}6}=\frac{7}{9}.$$

Тогда

$$ED=10\cdot \frac79=\frac{70}{9}=7\frac79\text{ см}.$$

Ответ

Наибольшую площадь имеет треугольник с перпендикулярными сторонами $$a$$ и $$b$$. В отсечённом треугольнике $$ED=7\frac79\text{ см},\; CD=16{,}8\text{ см},\; CE=14\text{ см}.$$