Упр.610 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна $$a$$, а другая — $$b$$, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
2. Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, делит сторону $$AC$$ в отношении $$2:7$$, считая от вершины $$A$$. Найдите стороны отсечённого треугольника, если $$AB=10\text{ см}$$, $$BC=18\text{ см}$$, $$CA=21{,}6\text{ см}$$.

Пусть одна сторона треугольника равна $$a$$, другая — $$b$$, а угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда площадь треугольника выражается формулой

$$S=\frac12 ab\sin\alpha.$$

Так как $$\sin\alpha\le 1$$, то

$$S\le \frac12 ab.$$

Равенство достигается при $$\sin\alpha=1$$, то есть при $$\alpha=90^\circ$$. Значит, наибольшую площадь имеет треугольник, у которого данные стороны перпендикулярны.

Ответ: наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$; $$S_{\max}=\frac12 ab$$.