Упр.609 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
2. На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$D$$ так, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$. Докажите, что $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а из точки $$O$$ опущен перпендикуляр на большую сторону $$AD$$ в точку $$H$$. Проведём через вершину $$B$$ перпендикуляр $$BE$$ к прямой $$AD$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит $$O$$ — середина диагонали $$BD$$. Кроме того, $$BE \perp AD$$ и $$OH \perp AD$$, следовательно, $$BE \parallel OH$$.

Рассмотрим треугольник $$BOD$$. В нём $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, а прямая $$OH$$, параллельная стороне $$BE$$, пересекает сторону $$BD$$ в её середине. Тогда по теореме Фалеса точка $$H$$ — середина отрезка $$ED$$, то есть

$$EH=HD=12\text{ см}.$$

Отсюда

$$AE=AH-HD=33-12=21\text{ см}.$$

Треугольник $$ABE$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора

$$BE^2=AB^2-AE^2,$$

$$BE^2=29^2-21^2=(29-21)(29+21)=8\cdot 50=400,$$

$$BE=20\text{ см}.$$

Теперь найдём большую сторону параллелограмма:

$$AD=AH+HD=33+12=45\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$$S_{ABCD}=AD\cdot BE=45\cdot 20=900\text{ см}^2.$$

Ответ: $$900\text{ см}^2$$.