Упр.608 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна $$24\ \text{см}^2$$, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на $$2\ \text{см}$$ и $$3\ \text{см}$$.
На продолжении боковой стороны $$ОВ$$ равнобедренного треугольника $$АОВ$$ с основанием $$АВ$$ взята точка $$С$$ так, что точка $$В$$ лежит между точками $$О$$ и $$С$$. Отрезок $$АС$$ пересекает биссектрису угла $$АОВ$$ в точке $$М$$. Докажите, что $$AM<МС$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда расстояния от точки $$O$$ до каждой пары противоположных сторон равны.

Пусть расстояния от $$O$$ до двух соседних сторон равны $$2$$ см и $$3$$ см. Тогда расстояния от $$O$$ до противоположных им сторон тоже равны соответственно $$2$$ см и $$3$$ см.

Высота параллелограмма, проведённая к одной стороне, равна удвоенному расстоянию от точки пересечения диагоналей до этой стороны, то есть

$$h_1=2\cdot 2=4\text{ см}, \qquad h_2=2\cdot 3=6\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма выражается через сторону и соответствующую высоту:

$$S=ah.$$

Тогда для одной стороны получаем

$$24=AD\cdot 4,$$

откуда

$$AD=6\text{ см}.$$

Для другой стороны:

$$24=AB\cdot 6,$$

откуда

$$AB=4\text{ см}.$$