Упр.605 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.
2. Диагональ $$AC$$ трапеции $$ABCD$$ делит её на два подобных треугольника. Докажите, что $$AC^2=a\cdot b$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания трапеции.

Пусть диагональ $$AC$$ трапеции $$ABCD$$ делит её на два подобных треугольника: $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$.

Тогда соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AD}=\frac{AC}{AC}.$$

Из подобия также следует, что отношение соответствующих сторон одинаково, значит

$$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}.$$

Перемножим крайние и средние члены:

$$AC^2=BC\cdot AD.$$

Так как $$BC=a$$ и $$AD=b$$, получаем

$$AC^2=a\cdot b.$$

Что и требовалось доказать.