Упр.599 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса $$r$$. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна $$26\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные $$5\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$.
- Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями $$2\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$, если угол при большем основании равен $$а$$.
Так как в треугольник вписана окружность, то отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:
$$AH=AE,\quad BH=BF,\quad CE=CF=r.$$
Тогда периметр треугольника равен
$$P_{ABC}=AH+BH+BF+CF+CE+AE=2(AH+BH+CE).$$
а) В прямоугольном треугольнике для вписанной окружности верно:
$$AC=AE+CE=AE+r.$$
Значит, если гипотенуза равна $$26$$ см и $$r=4$$ см, то
$$P_{ABC}=2(26+4)=2\cdot 30=60.$$
б) Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки $$5$$ см и $$12$$ см. Тогда
$$AB=5+12=17.$$
Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$. Тогда катеты равны
$$AC=12+r,\quad BC=5+r.$$
По теореме Пифагора:
$$17^2=(12+r)^2+(5+r)^2$$
$$289=144+24r+r^2+25+10r+r^2$$
$$2r^2+34r-120=0$$
$$r^2+17r-60=0.$$
Решая уравнение, получаем:
$$D=17^2+4\cdot 60=529,\quad \sqrt D=23,$$
$$r=\frac{-17+23}{2}=3.$$
Тогда
$$P_{ABC}=2(17+3)=40.$$
Ответ: а) $$60$$ см; б) $$40$$ см.
