Упр.598 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 598. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно а.

Обозначим стороны равнобедренного треугольника: $$AB=BC=13\text{ см},\quad AC=10\text{ см}.$$

Найдём полупериметр:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+13+10}{2}=18.$$

По формуле Герона найдём площадь:

$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$

$$S=\sqrt{18\cdot(18-13)\cdot(18-13)\cdot(18-10)}$$

$$S=\sqrt{18\cdot5\cdot5\cdot8}=\sqrt{3600}=60\text{ см}^2.$$

Для вписанной окружности справедлива формула:

$$S=pr,$$

откуда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь равнобедренного треугольника с углом $$\alpha$$ при основании.

Пусть боковая сторона равна $$b$$, а основание равно $$a$$. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$\sin\alpha=\frac{BH}{AB},\qquad \cos\alpha=\frac{AH}{AB}.$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$AH=HC=\frac{a}{2}$$, а значит

$$BH=AB\sin\alpha=b\sin\alpha.$$

Тогда площадь:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\sin\alpha.$$

Если же основание равно $$a$$, то из того же рассуждения получаем

$$BH=\frac{a}{2}\tg\alpha,$$

и поэтому

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}\tg\alpha=\frac{a^2\tg\alpha}{4}.$$

Ответ

$$r=\frac{10}{3}\text{ см};\quad S=\frac{ab\sin\alpha}{2};\quad S=\frac{a^2\tg\alpha}{4}.$$