Упр.598 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом $$\alpha$$ при основании, если:
а) боковая сторона равна $$b$$;
б) основание равно $$a$$.
а) Пусть $$\angle A=\angle C=\alpha,$$ а боковые стороны равны $$AB=BC=b.$$ Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AC.$$
В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, значит
$$AH=HC=\frac{AC}{2}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Тогда
$$\cos \alpha=\frac{AH}{AB}, \qquad \sin \alpha=\frac{BH}{AB}.$$
Отсюда
$$AH=b\cos \alpha, \qquad BH=b\sin \alpha.$$
Тогда площадь треугольника
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 2b\cos \alpha \cdot b\sin \alpha=b^2\sin \alpha \cos \alpha.$$
б) Теперь пусть $$AC=a,$$ а боковые стороны по-прежнему равны $$AB=BC.$$
Так как $$BH$$ — высота равнобедренного треугольника, то она же и медиана, поэтому
$$AH=HC=\frac{a}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\tg \alpha=\frac{BH}{AH},$$
откуда
$$BH=AH\cdot \tg \alpha=\frac{a}{2}\tg \alpha.$$
Тогда
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}\tg \alpha=\frac{a^2\tg \alpha}{4}.$$
Ответ: а) $$S_{ABC}=b^2\sin \alpha \cos \alpha$$; б) $$S_{ABC}=\frac{a^2\tg \alpha}{4}.$$
