Упр.597 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) $$24\ \text{см}, 25\ \text{см}, 7\ \text{см}$$; б) $$15\ \text{см}, 17\ \text{см}, 8\ \text{см}$$.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$. Выразите через $$a$$ и $$b$$ гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при $$a=12$$, $$b=15$$.

Пусть $$a,b,c$$ — стороны треугольника, а $$S$$ — его площадь. Тогда высота, опущенная на сторону $$x$$, равна

$$h=\frac{2S}{x}.$$

Значит, меньшая высота соответствует большей стороне треугольника.

а)

Стороны треугольника: $$24\text{ см},\ 25\text{ см},\ 7\text{ см}.$$

Найдём площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{24+25+7}{2}=28,$$

$$S=\sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)}=\sqrt{28\cdot 4\cdot 3\cdot 21}=\sqrt{7056}=84\text{ см}^2.$$

Наибольшая сторона — $$25\text{ см}$$, значит, меньшая высота опущена на неё:

$$h_{\min}=\frac{2S}{25}=\frac{2\cdot 84}{25}=\frac{168}{25}=6{,}72\text{ см}.$$

б)

Стороны треугольника: $$15\text{ см},\ 17\text{ см},\ 8\text{ см}.$$

По формуле Герона:

$$p=\frac{15+17+8}{2}=20,$$

$$S=\sqrt{20(20-15)(20-17)(20-8)}=\sqrt{20\cdot 5\cdot 3\cdot 12}=\sqrt{3600}=60\text{ см}^2.$$

Наибольшая сторона — $$17\text{ см}$$, поэтому меньшая высота опущена на неё:

$$h_{\min}=\frac{2S}{17}=\frac{2\cdot 60}{17}=\frac{120}{17}=7\frac{1}{17}\text{ см}.$$

Ответ

а) $$6{,}72\text{ см}$$; б) $$7\frac{1}{17}\text{ см}$$.