Упр.596 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен а. Выразите второй острый угол и катеты через с и а и найдите их значения, если с = 24 см, а а = 35°.

Подробный ответ

Проверим каждый набор чисел по теореме Пифагора: если для наибольшей стороны $$c$$ выполняется равенство $$a^2+b^2=c^2$$, то треугольник прямоугольный.

а) $$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$, значит, треугольник прямоугольный;
б) $$5^2+6^2=25+36=61\neq 7^2=49$$, значит, треугольник не прямоугольный;
в) $$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$, значит, треугольник прямоугольный;
г) $$10^2+24^2=100+576=676=26^2$$, значит, треугольник прямоугольный;
д) $$3^2+4^2=9+16=25\neq 6^2=36$$, значит, треугольник не прямоугольный;
е) $$9^2+11^2=81+121=202\neq 13^2=169$$, значит, треугольник не прямоугольный;
ж) $$15^2+20^2=225+400=625=25^2$$, значит, треугольник прямоугольный.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, где $$AB=c$$ — гипотенуза, $$\angle A=\alpha$$. Тогда второй острый угол равен

$$\angle B=90^\circ-\alpha.$$

По определению косинуса и синуса острого угла:

$$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{c}, \qquad \sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{c}.$$

Отсюда

$$AC=c\cos\alpha,\qquad BC=c\sin\alpha.$$

При $$c=24\text{ см}$$ и $$\alpha=35^\circ$$ получаем:

$$\angle B=90^\circ-35^\circ=55^\circ,$$

$$BC=24\sin35^\circ\approx 24\cdot 0{,}574\approx 13{,}8\text{ см}\approx 14\text{ см},$$

$$AC=24\cos35^\circ\approx 24\cdot 0{,}819\approx 19{,}7\text{ см}\approx 20\text{ см}.$$