Упр.595 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен $$50\ \text{см}$$, а разность смежных сторон равна $$1\ \text{см}$$.
2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а прилежащий к нему угол равен $$a$$.
   а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $$b$$ и $$a$$.
   б) Найдите их значения, если $$b=12\ \text{см}$$, $$a=42^\circ$$.

Обозначим смежные стороны параллелограмма через $$a$$ и $$b$$, причём $$a-b=1$$. Тогда по условию периметр равен $$50$$ см, значит

$$2(a+b)=50,$$

откуда

$$a+b=25.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=25,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2a=26,\quad a=13.$$

Тогда

$$b=25-13=12.$$

Пусть искомая диагональ является высотой. Тогда она перпендикулярна одной из сторон параллелограмма, а вместе с этой стороной образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна большей стороне $$13$$ см, а катет — меньшей стороне $$12$$ см. По теореме Пифагора:

$$d^2=13^2-12^2=169-144=25,$$

следовательно,

$$d=5.$$

Ответ: $$5$$ см.