Упр.591 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника ABC с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25.

1) В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому площадь ромба равна

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120\text{ см}^2.$$

Половины диагоналей равны $$5\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$. Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$5$$ и $$12$$:

$$a=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ см}.$$

2) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с $$\angle C=90^\circ$$ используем определения тригонометрических функций:

а) $$BC=8,\ AB=17.$$

Сначала найдём второй катет:

$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Тогда

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17},\quad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17},\quad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{15};$$

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17},\quad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{8}.$$

б) $$BC=21,\ AC=20.$$

Найдём гипотенузу:

$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29.$$

Следовательно,

$$\sin A=\frac{21}{29},\quad \cos A=\frac{20}{29},\quad \tg A=\frac{21}{20};$$

$$\sin B=\frac{20}{29},\quad \cos B=\frac{21}{29},\quad \tg B=\frac{20}{21}.$$

в) $$BC=1,\ AC=2.$$

Тогда

$$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

Получаем

$$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \tg A=\frac{1}{2};$$

$$\sin B=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \tg B=2.$$

г) $$AC=24,\ AB=25.$$

Найдём второй катет:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7.$$

Тогда

$$\sin A=\frac{7}{25},\quad \cos A=\frac{24}{25},\quad \tg A=\frac{7}{24};$$

$$\sin B=\frac{24}{25},\quad \cos B=\frac{7}{25},\quad \tg B=\frac{24}{7}.$$

Ответ

$$S=120\text{ см}^2,\quad a=13\text{ см}.$$

а) $$\sin A=\frac{8}{17},\ \cos A=\frac{15}{17},\ \tg A=\frac{8}{15};\ \sin B=\frac{15}{17},\ \cos B=\frac{8}{17},\ \tg B=\frac{15}{8}.$$

б) $$\sin A=\frac{21}{29},\ \cos A=\frac{20}{29},\ \tg A=\frac{21}{20};\ \sin B=\frac{20}{29},\ \cos B=\frac{21}{29},\ \tg B=\frac{20}{21}.$$

в) $$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}},\ \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \tg A=\frac{1}{2};\ \sin B=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}},\ \tg B=2.$$

г) $$\sin A=\frac{7}{25},\ \cos A=\frac{24}{25},\ \tg A=\frac{7}{24};\ \sin B=\frac{24}{25},\ \cos B=\frac{7}{25},\ \tg B=\frac{24}{7}.$$