Упр.589 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. По данным катетам $$a$$ и $$b$$ прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) $$a=5$$, $$b=12$$; б) $$a=12$$, $$b=16$$.
2. Постройте треугольник $$ABC$$ по углу $$A$$ и стороне $$BC$$, если известно, что $$AB:AC=2:1$$.

Обозначим $$CH$$ — высоту, проведённую к гипотенузе $$AB$$. Тогда площадь прямоугольного треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}ab$$

и

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH.$$

Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора, затем приравняем выражения для площади.

а) $$a=5,\; b=12$$

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30.$$

Тогда

$$30=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot CH,$$

откуда

$$CH=\frac{30\cdot 2}{13}=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}.$$

б) $$a=12,\; b=16$$

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96.$$

Тогда

$$96=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot CH,$$

откуда

$$CH=\frac{96\cdot 2}{20}=\frac{192}{20}=\frac{48}{5}=9{,}6.$$

Ответ

а) $$4\frac{8}{13}$$; б) $$9{,}6$$.