Упр.588 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно $$12\ \text{см}$$, а высота, проведённая к основанию, равна $$8\ \text{см}$$; б) основание равно $$18\ \text{см}$$, а угол, противолежащий основанию, равен $$120^\circ$$; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна $$7\ \text{см}$$.
2. Постройте треугольник $$ABC$$ по углу $$A$$ и медиане $$AM$$, если известно, что $$AB:AC=2:3$$.

а) Пусть $$BH$$ — высота к основанию $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$H$$ — середина основания, значит

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2=6^2+8^2=36+64=100,$$

откуда

$$AB=10\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

б) Пусть $$BH$$ — высота к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике она является также медианой и биссектрисой, поэтому

$$\angle ABH=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ,$$

а также

$$AH=HC=\frac{18}{2}=9\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$\angle A=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Тогда

$$\sin 60^\circ=\frac{AH}{AB}=\frac{9}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{9}{\sin 60^\circ}=\frac{9}{\sqrt3/2}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH.$$

Найдём $$BH$$ из треугольника $$ABH$$:

$$BH=AB\cos 60^\circ=6\sqrt3\cdot \frac12=3\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$S=\frac12\cdot 18\cdot 3\sqrt3=27\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то его острые углы равны $$45^\circ$$. Высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике равна

$$BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}.$$

Но в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, а высота к гипотенузе делит его на два равных прямоугольных треугольника, поэтому

$$AH=BH=7\text{ см}.$$

Тогда гипотенуза

$$AC=AH+HC=7+7=14\text{ см},$$

а площадь

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 14\cdot 7=49\text{ см}^2.$$

Боковая сторона:

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt2\text{ см}.$$

Ответ: а) $$AB=10\text{ см},\ S=48\text{ см}^2$$; б) $$AB=6\sqrt3\text{ см},\ S=27\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$AB=7\sqrt2\text{ см},\ S=49\text{ см}^2$$.

Построение треугольника $$ABC$$ по углу $$A$$ и медиане $$AM$$, если $$AB:AC=2:3$$

1. Построить угол $$A$$.
2. На одной стороне угла отложить три равных отрезка, на другой — два таких же отрезка.
3. Соединить концы отложенных отрезков и получить направление стороны $$BC$$ так, чтобы выполнялось отношение $$AB:AC=2:3$$.
4. Построить середину $$M$$ стороны $$BC$$.
5. На луче из точки $$A$$ отложить отрезок $$AM$$, равный заданной медиане.
6. Через точку $$M$$ провести прямую, параллельную стороне $$BC$$, и отметить на сторонах угла точки $$B$$ и $$C$$.
7. Соединить точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.