Упр.587 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a2корень3/4, где а — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2корень2 дм. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$ и проведём высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$.

Так как треугольник равносторонний, то высота $$BH$$ является также медианой, значит $$AH=\frac{a}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$ AB^2=BH^2+AH^2 $$

$$ a^2=BH^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

$$ BH^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4} $$

$$ BH=\frac{\sqrt{3}}{2}a $$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH =\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a =\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Это и требовалось доказать.

Вычислим площадь для данных значений стороны:

а) при $$a=5\text{ см}$$

$$ S=\frac{5^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2 $$

б) при $$a=1{,}2\text{ см}$$

$$ S=\frac{1{,}2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1{,}44\sqrt{3}}{4}=0{,}36\sqrt{3}\text{ см}^2 $$

в) при $$a=2\sqrt{2}\text{ дм}$$

$$ S=\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} =\frac{8\sqrt{3}}{4} =2\sqrt{3}\text{ дм}^2 $$

Построение треугольника по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла:

1. Построить угол, равный одному из заданных углов.
2. На одной стороне этого угла отложить отрезок, равный заданной высоте.
3. Через полученную точку провести прямую, перпендикулярную стороне угла.
4. Построить второй заданный угол так, чтобы его сторона пересекла проведённую перпендикулярную прямую.
5. Точка пересечения сторон двух углов будет вершиной искомого треугольника.
6. Через эту вершину провести перпендикуляр к основанию; его длина равна заданной высоте.
7. Соединить вершину с точками пересечения сторон углов с основанием — получим искомый треугольник.

Ответ

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$; а) $$\frac{25\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2$$; б) $$0{,}36\sqrt{3}\text{ см}^2$$; в) $$2\sqrt{3}\text{ дм}^2$$.