Упр.587 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где $$a$$ — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) $$2\sqrt{2}$$ дм.
- Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.
Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний, $$AB=BC=CA=a$$. Проведём высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит
$$AH=HC=\frac a2.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2,$$
$$a^2=\left(\frac a2\right)^2+BH^2,$$
$$BH^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},$$
откуда
$$BH=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Теперь найдём площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot a\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$
Итак, формула доказана.
Вычислим площадь для данных значений стороны:
а) $$a=5\text{ см}$$
$$S=\frac{5^2\sqrt3}{4}=\frac{25\sqrt3}{4}\text{ см}^2.$$
б) $$a=1{,}2\text{ см}$$
$$S=\frac{1{,}2^2\sqrt3}{4}=\frac{1{,}44\sqrt3}{4}=0{,}36\sqrt3\text{ см}^2.$$
в) $$a=2\sqrt2\text{ дм}$$
$$S=\frac{(2\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{8\sqrt3}{4}=2\sqrt3\text{ дм}^2.$$
Ответ
$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4};$$ а) $$\frac{25\sqrt3}{4}\text{ см}^2;$$ б) $$0{,}36\sqrt3\text{ см}^2;$$ в) $$2\sqrt3\text{ дм}^2.$$
