Упр.586 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

а) В равностороннем треугольнике высота является также медианой. Поэтому $$AH=HC=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH.$$ По теореме Пифагора:

$$BH^2=AB^2-AH^2=6^2-3^2=36-9=27,$$

откуда

$$BH=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

б) Пусть $$BH=4\text{ см},$$ а $$AH=HC=x.$$ Тогда сторона равностороннего треугольника

$$AB=BC=AC=2x.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2,$$

то есть

$$ (2x)^2=x^2+4^2,$$

$$4x^2=x^2+16,$$

$$3x^2=16,$$

$$x^2=\frac{16}{3},\qquad x=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Тогда

$$AB=2x=2\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Построение треугольника по двум углам и биссектрисе меньшего из них:

1. Построим угол, равный большему из данных, и проведём его стороны.
2. На одной стороне отложим от вершины отрезок, равный длине биссектрисы, и получим точку $$C_1.$$
3. Через $$C_1$$ проведём прямую, параллельную второй стороне угла.
4. На другой стороне угла отметим точку пересечения этой прямой с ней; получим вершину треугольника.
5. Из точки $$C$$ построим биссектрису меньшего угла; полученный треугольник будет искомым.

Ответ

а) $$3\sqrt{3}\text{ см};$$ б) $$\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$