Упр.580 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

Подробный ответ

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$. Тогда $$AB=CD$$, а углы при основании равны: $$\angle A=\angle D$$.

Пусть высота $$BH$$, опущенная из вершины тупого угла $$B$$ на основание $$AD$$, делит большее основание на отрезки $$AH=1{,}4$$ см и $$HD=3{,}4$$ см.

2) Так как трапеция равнобедренная, то при опускании высот из вершин $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$ получаем равные отрезки у оснований: $$AH=ED=1{,}4$$ см.

Тогда

$$HE=HD-ED=3{,}4-1{,}4=2\text{ см}.$$

Следовательно, верхнее основание трапеции

$$BC=HE=2\text{ см}.$$

3) Найдём высоту $$BH$$. Угол $$\angle ABC=135^\circ$$, а $$BH\perp AD$$, значит $$\angle HBC=90^\circ$$. Тогда

$$\angle ABH=\angle ABC-\angle HBC=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$

В треугольнике $$ABH$$ угол при точке $$H$$ прямой, а $$\angle ABH=45^\circ$$, значит треугольник $$ABH$$ равнобедренный. Поэтому

$$BH=AH=1{,}4\text{ см}.$$

4) Площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH.$$

Так как

$$AD=AH+HD=1{,}4+3{,}4=4{,}8\text{ см},$$