Упр.580 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Тупой угол равнобедренной трапеции равен $$135^\circ$$, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки $$1{,}4\ \text{см}$$ и $$3{,}4\ \text{см}$$. Найдите площадь трапеции.
2. Задание учебника 2023 года. Длина тени дерева равна $$10{,}2\ \text{м}$$, а длина тени человека, рост которого $$1{,}7\ \text{м}$$, равна $$2{,}5\ \text{м}$$. Найдите высоту дерева.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$AD$$ — большее основание, а $$BH$$ — высота, проведённая из вершины тупого угла $$\angle ABC=135^\circ$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$, а углы при основании равны: $$\angle A=\angle D$$.

Высота $$BH$$ делит большее основание на отрезки $$AH=1{,}4$$ см и $$HD=3{,}4$$ см, значит

$$AD=AH+HD=1{,}4+3{,}4=4{,}8\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Так как $$BH\perp AD$$, то $$\angle AHB=90^\circ$$. Кроме того, угол при вершине $$B$$ трапеции равен $$135^\circ$$, поэтому

$$\angle ABH=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ острые углы равны, значит он равнобедренный, и

$$BH=AH=1{,}4\text{ см}.$$

Теперь найдём верхнее основание. В равнобедренной трапеции отрезки, на которые высоты делят большее основание, равны, поэтому

$$ED=AH=1{,}4\text{ см}.$$

Тогда

$$BC=HD-ED=3{,}4-1{,}4=2\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH =\frac{4{,}8+2}{2}\cdot 1{,}4 =\frac{6{,}8}{2}\cdot 1{,}4 =3{,}4\cdot 1{,}4 =4{,}76\text{ см}^2.$$

Ответ: $$4{,}76\text{ см}^2$$.