Упр.577 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника ABC. Найдите: a) SADE, если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = 3cм, АЕ = 2 см, SABC=10cм2; б) AD, если АВ = 8см, АС = 3см, АЕ = 2 см, SABC = 10 см2, SADE = 2 см2. В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

а) Треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ имеют общий угол $$\angle A$$, значит, их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{AB\cdot AC}{AD\cdot AE}.$$

Подставим данные:

$$\frac{10}{S_{ADE}}=\frac{5\cdot 6}{3\cdot 2}=\frac{30}{6}=5.$$

Тогда

$$S_{ADE}=\frac{10}{5}=2\ \text{см}^2.$$

б) Снова используем формулу отношения площадей треугольников с общим углом:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{AB\cdot AC}{AD\cdot AE}.$$

Подставим значения:

$$\frac{10}{2}=\frac{8\cdot 3}{AD\cdot 2}.$$

Получаем:

$$5=\frac{12}{AD},$$

откуда

$$AD=\frac{12}{5}=2{,}4\ \text{см}.$$

Ответ

а) $$2\ \text{см}^2$$; б) $$2{,}4\ \text{см}$$.

Дополнительно. В треугольнике со сторонами $$5$$ см, $$12$$ см и $$13$$ см наибольшая сторона равна $$13$$ см. По теореме Пифагора:

$$5^2+12^2=13^2,$$

значит, треугольник прямоугольный. Высота к гипотенузе делит её на отрезки

$$\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}\ \text{см}$$ и $$\frac{12^2}{13}=\frac{144}{13}\ \text{см}.$$