Упр.576 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на $$11\text{ см}$$ больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как $$6:5$$.
Пусть диагонали четырёхугольника $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$, причём $$AC \perp BD$$.
Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников:
$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}.$$
Так как диагонали перпендикулярны, то
$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO,\quad S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC,\quad S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD,\quad S_{AOD}=\frac12 OD\cdot AO.$$
Сложим эти площади:
$$S_{ABCD}=\frac12 AO\cdot BO+\frac12 BO\cdot OC+\frac12 CO\cdot OD+\frac12 OD\cdot AO.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$S_{ABCD}=\frac12 AO(BO+OD)+\frac12 OC(BO+OD).$$
Так как $$BO+OD=BD$$, а $$AO+OC=AC$$, получаем:
$$S_{ABCD}=\frac12 BD(AO+OC)=\frac12 BD\cdot AC.$$
Следовательно, площадь выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей:
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$
