Упр.574 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) $$3{,}2\ \text{дм}$$ и $$14\ \text{см}$$; б) $$4{,}6\ \text{дм}$$ и $$2\ \text{дм}$$.
2. Докажите, что: а) $$h=\frac{ab}{c}$$; б) $$\frac{a^2}{ac}=\frac{b^2}{bc}$$.

Пусть диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда по свойству диагоналей ромба они взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам:

$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad BD\perp AC.$$

Ромб разбивается диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника: $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$.

Площадь одного из них равна

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{2}\cdot \frac{BD}{2}=\frac{AC\cdot BD}{8}.$$

Тогда площадь ромба

$$S_{ABCD}=4S_{AOB}=4\cdot \frac{AC\cdot BD}{8}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$

Значит, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Теперь вычислим площадь.

а) $$AC=14\text{ см},\quad BD=3{,}2\text{ дм}=32\text{ см}.$$

$$S=\frac{14\cdot 32}{2}=224\text{ см}^2.$$

б) $$AC=2\text{ дм},\quad BD=4{,}6\text{ дм}.$$

$$S=\frac{2\cdot 4{,}6}{2}=4{,}6\text{ дм}^2.$$

Ответ

$$S=\frac{d_1d_2}{2};\quad \text{а) }224\text{ см}^2,\ \text{б) }4{,}6\text{ дм}^2.$$