Упр.574 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм. Докажите, что: a) h = ab/c; б) a2/ac=b2/bc

Обозначим диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$, точку их пересечения — $$O$$.

По свойству диагоналей ромба они взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad BD\perp AC.$$

Тогда треугольники $$AOD$$, $$DOC$$, $$AOB$$ и $$BOC$$ — прямоугольные. Площадь ромба равна сумме площадей этих четырёх треугольников:

$$ S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{DOC}+S_{AOB}+S_{BOC}. $$

Каждый из них имеет катеты, равные половинам диагоналей, поэтому

$$ S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BD}{2}\cdot \frac{AC}{2}=\frac{BD\cdot AC}{8}. $$

Следовательно,

$$ S_{ABCD}=4\cdot \frac{BD\cdot AC}{8}=\frac{BD\cdot AC}{2}. $$

Итак, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Теперь вычислим площадь.

а) $$AC=14\text{ см},\quad BD=3{,}2\text{ дм}=32\text{ см}.$$ Тогда

$$ S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{14\cdot 32}{2}=224\text{ см}^2. $$

б) $$AC=2\text{ дм},\quad BD=4{,}6\text{ дм}.$$ Тогда

$$ S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{2\cdot 4{,}6}{2}=4{,}6\text{ дм}^2. $$

Докажем ещё формулы.

а) Для треугольника с основанием $$c$$ и высотой $$h$$:

$$ S=\frac{1}{2}ab $$
и
$$ S=\frac{1}{2}ch. $$

Приравнивая площади, получаем

$$ \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch \;\Rightarrow\; ab=ch \;\Rightarrow\; h=\frac{ab}{c}. $$

б) Из формулы площади треугольника:

$$ a=\sqrt{a_c\cdot c}\Rightarrow a^2=a_c\cdot c, \qquad b=\sqrt{b_c\cdot c}\Rightarrow b^2=b_c\cdot c. $$

Тогда

$$ c=\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}, $$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2};\quad a)~224\text{ см}^2;\quad б)~4{,}6\text{ дм}^2;\quad h=\frac{ab}{c};\quad \frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}.$$