Упр.571 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая $$m$$, параллельная стороне $$AB$$. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой $$m$$ и основанием $$AB$$ имеют равные площади.
2. В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площадь треугольника $$ABO$$ равна $$S$$.

Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, а $$DE$$ — высота треугольника $$ABD$$, где точки $$C$$ и $$D$$ лежат на прямой $$m$$, параллельной $$AB$$.

Тогда

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CH,$$

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot DE.$$

Так как $$AB \parallel m$$ и точки $$C$$, $$D$$ лежат на прямой $$m$$, то расстояния от точек $$C$$ и $$D$$ до прямой $$AB$$ равны. Значит,

$$CH=DE.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CH=\frac12\cdot AB\cdot DE=S_{ABD}.$$

Итак, все треугольники с вершинами на прямой $$m$$ и основанием $$AB$$ имеют равные площади.